1. En el dibujo que aparece debajo, intente unir con cuatro líneas rectas consecutivas los nueve puntos dispuestos en el diagrama. Una vez que lo resuelva, propóngale el problema a otra gente y esté atento a ver cómo intentan resolverlo. En realidad lo que nos interesa es determinar por qué razón unir estos nueve puntos con sólo cuatro líneas rectas consecutivas puede convertirse en una dificultad.
ATENCION: No pongan la respuesta a este dilema en el blog. Traigan la solución para la clase próxima.
2. Xenón de Elea cuenta que luego de vencer a la liebre en la carrera que es narrada por Esopo, Aquiles, corredor veloz, decide retar a la famosa tortuga en una competencia de velocidad. Tan confiado está Aquiles de su triunfo que le otorga 100 metros de ventaja. Ambos corredores parten al mismo tiempo, la tortuga adelante de Aquiles, separados ambos por dicha distancia. En efecto, Aquiles es más rápido que la tortuga. Tanto que cada vez que Aquiles recorre una unidad de distancia, en ese mismo tiempo la tortuga recorre apenas la mitad.
Así, los 100 metros que separan a ambos corredores en el momento de la partida son rápidamente cubiertos por Aquiles... Pero cuando llega al punto desde el cual partió la tortuga, ella no se encuentra allí, sino 50 metros adelante. Cincuenta metros que son velozmente cubiertos por Aquiles, quien al llegar a ese punto descubre a la tortuga 25 metros más adelante. Al cubrir como un relámpago esos 25 metros, la tortuga se ubica ahora a 12,5 metros... Si seguimos la progresión, descubrimos que siempre la distancia que separa a los corredores se divide por dos, pasando a ser la mitad de la distancia anterior. Sólo que por este medio, jamás la distancia que separa a ambos corredores llega a ser cero: siempre es un número positivo, cada vez más pequeño, conforme avance la carrera, pero siempre la tortuga tendrá un pequeño espacio de ventaja respecto de Aquiles. Xenón demuestra así, matemáticamente, que por más que Aquiles corra el doble de rápido que la tortuga, 100 metros de ventaja son suficientes para que sea el quelonio quien se lleve el triunfo, muy a pesar de que el sentido común indique lo contrario. ¿Qué opinan ustedes al respecto?
3. La tercera cuestión a resolver es por demás simple: cómo dar respuesta a la clásica pregunta de qué debe estar cronológicamente primero, si el huevo o la gallina.
4. Y para quienes gusten de los acertijos matemáticos (aunque tal vez deban repasar algunas cuestiones), he aquí una de las tantas demostraciones posibles del absurdo.
a) Si tenemos que a=1 y b=1, esto implica que a=b.
b) Por lo cual: a2 = a.b
c) Si añadimos a ambos miembros un mismo valor, la igualdad se mantiene: a2–b2 = a.b–b2
d) Por propiedad distributiva (lo dicho: a repasar nociones conceptos...), la ecuación queda así: (a+b)(a-b) = b(a-b)
e) Paso ahora parte del segundo miembro al primero, invirtiendo la operación de multiplicación por división.
Entonces: (a+b)(a-b)/(a-b)=b
f) ...y a continuación, simplemente simplifico: a+b=b
g) Es decir que 1+1=1
Lo más interesante del caso es que todos los pasos algebraicos son correctos. ¿Entonces?...
16 comentarios:
Con respecto al tema de Aquiles y la tortuga lo podemos relacionar con la tecnologia. Por más de que tengamos lo que nosotros creemos que es lo ultimo siempre va a haber algo más y nunca la vamos a lograr alcanzar. Y es eso lo que nos tiene constantemente corriendo tras ella.
Cuando se planteo el tema en clase no pude evitar acordarme del capitulo de Los Simpsons en el cual Homero y Bart van a un basurero y pasan por un lugar donde estan todos los casettes, otro lugar donde estan todos los Cds y un ultimo espacio vacio que dice reservado para DVDs. Ahora con la llegada del Blue-ray ese espacio estara vacio por poco tiempo.
Con respecto al huevo y la gallina, creo que primero fue el huevo por por una cuestion evolutiva.
Por ultimo debo decir que me parecio muy bueno el problema matematico. Esto comprueba que nada en el mundo es exacto.
Perdón, Hernán, ¿con la llegada del que????
Mis conocimientos sobre tecnología están a la altura de los de Bibi
Vamos por partes: resolví el de las 4 lineasssssss!!!!!!!
Se me complica hacer un comentario respecto de la dificultad del enigma sin referirme a la solución. Se discutirá en clase, no?
En efecto, Brenda: ese ejercicio lo discutiremos en la clase.
Laura: Bibiana asegura que el cuatrimestre que viene va a cursar la materia Nuevas tecnologías que un servidor dicta en la UdeMM.
Hernán: Todo muy lindo, pero... a) Lo de Aquiles merece OTRO comentario; b) no es tan sencillo; c) ídem b.
Saludos.
Perdon que sea tan complicado pero el ejercicio de la tortuga está mal formulado y por eso supuestamente nunca la puede pasar Aquiles. Supongamos como dice el ejercicio que cuando Aquiles hace 100 m, le descuenta 50 m; por lo tanto cuando la tortuga haya hecho 200 m, Aquiles ya lo habrá alcanzaco y si la carrera es de, por ejemplo, 1.000 m. cuando Aquiles haya llegado, la tortuga estará en los 600 m. Por lo tanto, le habrá sacado 400 m de distancia Aquiles a la tortuga.
Con respecto al ejercicio de los puntos, me muero por decir algo que hiciste mal Germán.. pero no lo digo porque diría mucho sobre la resolución. Igual se que el sentido está en como hacemos para resolverlo, mas que en la resolución misma..
No hagan comentarios anonimos chee...
Debo confesar que despues de estar horas con mis amigos ayer a la noche, busque la solucion del de 4 lineas en internet, no voy a poner nada al respecto de la resolucion, pero cada vez me convenzo mas que soy un fracaso para estas cosas.
Hola!
1) Si bien ya lo conocía el de los punto, debo admitir que me llevó un rato resolverlo, pero o logré!!
2) Creo que la matemática es exacta pero los patrones de medida no siempre lo son. Trabajo rodeada de ingenieros y curiosamente la semana pasada nos explicaban a mí y a una estudiante de artes (las dos que nos salimos del cuadrado) que en ingeniería existe un cálculo que se conoce como “incertidumbre”. Frente a cualquier cálculo uno debe también calcular la incertidumbre, es decir, una especie de margen de error que existe siempre.
En este caso el margen de error es decimal. Si calculamos que la tortuga avanza x/2 (siendo x la distancia recorrida por Aquiles) Aquiles tardará en alcanzar a la tortuga dependiendo de la cantidad de decimales que incorporemos en el cálculo. Hagan la prueba en Excel:
a1= Aquiles
b1=Tortuga
a2=0
b2=100
a3=b2
b3= b2+((a3-a2)/2)
Después repitan para abajo las últimas dos fórmulas y varíen la cantidad de decimales a la vista. Vean qué pasa. De este modo los griegos explicaban la existencia del infinito (Así pero sin excel).
Para evitar ese infinito, el cálculo de incertidumbre aceptará el margen de error de determinada cantidad de decimales y finalmente concluirá que Aquiles alcanzará a la tortuga a los 200 metros.
La matemática es exacta pero la ingeniería siempre tiene incertidumbre. Dentro de la historia podemos considerar los cálculos como matemáticos y sorprendernos del resultado, pero sabemos que si realmente hubiera una carrera y debiéramos calcular lo que podría llegar a pasar (así como se calcula lo que podría llegar a pasar con un edificio en construcción) no podríamos dejar fuera el cálculo de la incertidumbre.
De todos modos, y a pesar de que aparentemente ya me absorbieron los ingenieros, me pareció interesante la analogía que planteó Hernán. Y al igual que laura creo que estoy lejos de alcanzar a la tortuga, ¿qué es el Blue-ray?
3) La teoría creacionista dirá que Dios creó a todos los animales y por lo tanto primero fue la gallina y luego el huevo.
La teoría evolucionista podrá decir que primero fue el huevo, pero el de otro animal y que a lo largo de la evolución esa especie terminó convirtiéndose en le gallináceo en cuestión.
4) Para responder a este punto recurrí directamente a mis compañeros de trabajo y me explicaron lo siguiente:
Si bien los pasos algebraicos son correctos, la realización del punto e) es inexistente en el sistema Euclidiano ya que dicho sistema niega la posibilidad de dividir por cero.
Se ve que la matemática que nos enseñan en la escuela corresponde al sistema euclidiano que se basa en 5 postulados de los cuales el último es el de “las líneas paralelas nunca se unen”. Pero también existe otro sistema contrario al Euclidiano llamado “no euclidiano” (que originales) que niega ese 5º postulado afirmando que las paralelas sí pueden unirse. En este sentido yo podría inventar un sistema Pauliano y afirmar que se puede dividir por cero, pero debo sustentar esa afirmación con todo un sistema que me acompañe, cosa que no creo que vaya a hacer.
En definitiva, la matemática es conceptual y a nosotros nos enseñan los conceptos del sistema euclidiano así como nos enseñan la geografía en la que Europa es el centro del mundo. La única diferencia es que el sistema euclidiano no creo que traiga aparejado tantas connotaciones políticas.
Besos
Pau
CARLOS BOBBA DE FILIPPIS
definitivamente despues de intentar entender la ultima de las ecuaciones, me di cuenta que he optado por la carrera correcta, la matematica no es lo mio. Me parecio interesantisimo el articulo referente a los mapas y como una mirada, que se impone como "la mirada", nos provoca cambios por demas profusos. Con respecto a la pregunta sobre el huevo y la gallina, la cienca ha encontrado respuesta y no hace mucho tiempo, el primero fue el huevo y a continuacion dejo la direccion de la nota donde se explica pormenorizadamente porque es asi.
http://www.20minutos.es/noticia/124329/0/huevo/gallina/dilema/
Por ultimo, y sin afan de aburrir a nadie, el problema de los 9 puntos, me parece que va de la mano tanto con la nota relacionada con los mapas, como con la cita de galeano, es interesante pensar:
"QUE VEMOS AL MUNDO COMO EL MUNDO NOS ENSEÑO A VERLO"
Al igual que Pau tb me sumergí en la Ingeniería por un rato (mi novio es casi ingeniero) y acudí al libro de Paenza “Matemática estas ahí” versión 1.
1)Con respecto al segundo problema, Xenón resuelve que la tortuga va a llegar siempre antes que Aquiles porque entre los números naturales (el conjunto de todos los números enteros positivos 1,2,3,4,5,6,7,8, n) hay infinitos números decimales. Tal es así que si dividimos constantemente los resultados de 100:2 llegaremos a lo siguiente: 50, 25, 12.5, 6.25, 3.125, 1.5625, 0.78125, 0.390625, 0.1953125, 0.09765625, 0.048828125, 0.024414062, etc. Al sumarlos obtenemos que la distancia recorrida por la tortuga es 99.97558594 –y si continuamos dividiendo casi 100- con lo cual comprobaríamos que ella llega primero.
2)En Física para explicar las leyes que gobiernan el universo se utiliza el concepto de Entropía que mide el nivel de orden de un sistema dado. Cuando la entropía aumenta el desorden también, y eso es a lo que tienden todos los sistemas de composición compleja. Físicamente, un huevo es un sistema mucho más simple que una gallina: posee una sola célula, es un sistema cerrado que mantiene un mínimo contacto con el medio exterior, etc. En cuestión, tanto para la física como para la teoría evolucionista los organismos más simples son los que se adaptaron al medio, evolucionaron y se convirtieron en organismos más complejos empezando por las células, que de procariotas pasaron a ser eucariotas y posibilitaron el origen biológico de todo organismo biótico complejo. Por eso el huevo, científicamente hablando, sería anterior a la gallina.
3)El último ejercicio está presente en el libro de Paenza. Él lo utiliza para explicar la imposibilidad de dividir por cero que es algo que no viene al caso. Lo que está mal es la simplificación o cancelación de miembro a miembro: a+b=b que deviene en a=b o 1=1. En ese caso, no se puede simplificar el factor b porque en el primer miembro está sumando y en el segundo está multiplicando (siempre que haya un número solo al otro lado de la igualdad se lo debe considerar como de múltiplo de 1, es decir en lugar de b se debe leer b.1). En ese sentido la simplificación deviene en error conceptual y el resultado resulta ser falso.
EN cuanto a lo de aquiles, llevo impresa dos soluciones q encontre..respecto del problema matematico, ataque a mi tia q es profesora de matematica, y me dijo que el problema esta en el punto e, porque no se puede dividir por 0como ya dijeron varios arriba...y con lo del huevo y la gallina..depende como lo mires no?¿..lo discutimos en clase mejor..ajaj
Bueno tarde pero aquí están mis respuestas a estos planteos, igual prefiero que los expliques vos Germán en la clase porque algo de trampa deben tener:
Con respecto a 1) encontré la solución, luego de haber intentado varias veces y junto a un amigo. No voy a decir como es, prefiero verlo en clase.
2) Yo podria este ejemplo: En una carrera de 1000 metros Aquiles (corriendo 100 metros por minuto) tardaria 10 minutos en llegar a la meta, mientras que la tortuga lo haria en 5 minutos y medio, ya que recorre la mitad que Aquiles en = tiempo y además, le había sacado al principio una ventaja. Esa ventaja, plus, es el medio minuto. Pero creo que tomando una distancia x, en este caso 1000mts Aquiles llega antes que la tortuga a la meta, porque de hecho debe existir una meta.
3) En cuanto al huevo y la gallina es una problemática imposible de estar de acuerdo. Es como esas preguntas ¿De donde venimos? O ¿A donde vamos? Creo que nadie tiene una respuesta exacta si bien existen dos teorías como la Darviniana y la de la Creación divina. Estas dos teorías también pueden estar erradas, de hecho fueron creadas por humanos imperfectos.
4) Cuando uno plantea un ejercicio matemático con incógnitas, lo que se busca es conseguir una igualdad, que es el resultado del ejercicio, cuando uno no tiene manera de resolverlo o el resultado puede resultar un absurdo se van aplicando las diferentes propiedades que presenta la matemática; pero una vez llegado al resultado no se debe seguir desglosando un ejercicio porque seguramente nos encontraremos con algún resultado “indeterminado” o un absurdo.
En el ejercicio que se plantea se van aplicando las diferentes propiedades, pero se reemplazan los números al final, si observamos hasta el punto de inclusive el ejercicio nos da una igualdad, ósea que si reemplazamos las incógnitas punto por punto no necesitamos seguir avanzando ya que cumplimos con el objetivo de obtener la igualdad, ahora a partir del punto d) nos encontramos cuando reemplazamos una “indeterminación” 0/0=1, lo que significa que la incógnita tiende a infinito, si seguimos avanzando aplicando las propiedades sin reemplazar obtenemos que 2=1 lo que significa que es un resultado absurdo, pero si el resultado lo obtuvimos antes, ¿porque tuvimos que aplicar todas las propiedades para llegar a un “absurdo”?
La matemática es SIEMPRE es una ciencia exacta, en cuanto a que los numeros representan lo que son (el 2 vale 2) depende como se planteo el resultado puede ser coherente o no, además de las propiedades matemáticas hay muchas relaciones y distintas formulas para aplicar en las cuales se pueden salvar los absurdos o indeterminaciones, ya no me acuerdo mucho como hacerlo, hace bastante que termine el secundario y no toque un ejercicio más. Pero estoy casi seguro de que no hace falta aplicar todas las propiedades en un ejercicio sin reemplazar las incógnitas, en el caso de que no las tengamos, porque el resultado puedo no ser el esperado y además deberíamos recurrir a otras aplicaciones matemáticas.
Pablo Espíndola.
Ay gente, que complicado todo!!! espero que podamos resolver algunas cuestiones en clase, la verdad no quiero poner acá la respuesta en relación a la ecuación, porque lo que a mi parecio no creo que sea la justa... y me da verguenza.Demás esta decir que por algo no quiero estudiar nada relacionado con los números...ya me duele la cabeza. En fin, con respecto a lo del huevo, siempre me pregunté lo mismo, pero por algunas razones siempre crei, y lo sigo creyendo, que el huevo nació primero, nada mas y nada menos porque sino de donde nace la gallina que pone otro huevo...y así sucesivamente. El huevo alguien lo puso ahí (la naturaleza???).
Supongo que el de la torutga lo trataremos en clase...me quedaron una par de cosas para preguntarle a German. Con el ejercicio de los puntos no me lleve tan mal al principio, pero luego me dí cuenta de que no es tan fácil como se ve a simple vista. muy bueno para relacionar con la temática de los mapas. Llevo mi respuesta a clase.
Me sorprende el nivel de análisis matemático que hay en los comentarios!!!... Nunca me lleve bien con los números y eso me impidió entender del todo las respuestas que dieron, asi que me limito a contar mi experiencia.
El primer problema no lo pude resolver sin buscar la respuesta. Se lo di a varias personas más y tampoco lo sacaron, pero las razones las vamos a charlar en clase seguro.
La paradoja de Aquiles y la tortuga me trajo otro problema. Apenas me sente a analizarlo me di cuenta que cuando Aquiles llegue a los 200 metros recorridos iba a alcanzar a la tortuga (200/2+100 de la ventaja). Lo que no entendia era el motivo de la diferencia, porque el planteo de Xenón me parecia lógico en términos matemáticos (la diferencia que veía era que siempre se analizaba pensando en que Aquiles recorría solo la distancia hasta donde esta la tortuga). Trate de guiarme un poco buscando información y encontré que la diferencia radica en lo que se considera para el análisis. Si se considera el tiempo solamente, Aquiles nunca alcanza a la tortuga, mientras que si consideramos solo el espacio logra superarla. Me rompí la cabeza pensando cómo el planteo de Xenon sólo tiene en cuenta el tiempo, pero no le encontre una explicación convincente (seguro por mi falta de conocimientos matemáticos).
Sobre el tema del huevo y la gallina me es más fácil pensar en terminos de construcción. Si me guío por la teoría de la evolución (y tomo como válido el argumento de que el ADN no se modifica a lo largo de la vida) privilegiando la concepción científica me veo obligado a decir que el huevo esta cronológicamente antes. Pero también podría creer que la gallina es una creación previa de una divinidad con un objetivo especifico, y que a partir de ella continuó su reproducción evolutivamente. Ambas respuestas estan vinculadas a distintas concepciones acerca de lo real, su origen, y la forma de percibirlo, por lo que no es posible descartar ninguna sin antes criticar sus fundamentos.
El último problema me supera ampliamente, pero de las respuestas que se dieron aca me surge una duda: ¿los planteos eran algebraicamente correctos? Porque creo que eso es lo que se crítico despues de todo.
Me acabo de dar cuenta de un error. Vi mal los pasos del cuarto ejercicio y pensé que se simplificaba b en los 2 miembros y se obtenia 1=1. Lo que propone el ejercicio no es eso y además, dije cualquier cosa! porque si se simplifica b a los dos lados del miembro (cosa que no se puede poque eso sí se relaciona con lo que dije antes) queda a=0.
Al no ser ese el error, debo darle la razón a Paenza (antes no tuve en cuenta su explicación porque el ejercicio no es igual y pensé que la resolucion de éste iba para otro lado). Lo que esta mal es el punto e tal como dice Melisa por la "imposibilidad de dividir por cero". Es decir, si a vale 1 y b tb vale 1, si los resto (a-b) me va a dar cero, por eso el punto e es falso.
Igual, voy a Llevar el libro y al leer lo que él dice se va a entender mejor. TB tiene problemas de pensamiento lateral. De hecho, iba a copiar uno acá en el blog, pero ya eran muchos para resolver.
Hasta las 7!
Es muy curioso (y loable) lo de Paenza, en varios sentidos. Uno de ellos es que el propio autor dispuso que sus libros, además de su versión papel, estuviesen disponibles para ser descargados libremente desde internet.
Aquí les deju un link desde el cual puede descargarse el "Matemática... ¿Estás Ahí? Episodio 3,14" en formato pdf.
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